Что такое вершины и стороны угла. Вершина и угол разница


Что такое вершина угла?

Здравствуйте! Здесь ничего сложного нет. Мы с Вами знаем, что такое сторона геометрической фигуры, а так же имеем представлением о том, что угол — геометрическая фигура, а которой есть точка, которая и называется нашей вершиной, а также двух полупрямых, которые исходят из этой точки.Так как я надеюсь, что теперь понятно, что такое вершина угла, то можно переходить к более конкретным примерам, а не только в теории

Давайте разберёмся на примере. Нам, к примеру дан треугольник \Delta BOC, в котором известны \angle B = 35^{o}, \angle C = 45^{o}. А нужно найти угол \angle O.Теперь порассуждаем. Мы знаем, что сумма углов треугольников равна 180^{o}. И мы получаем: 

    \[\angle O = 180^{o} - (\angle B + \angle C)\]

 

    \[\angle O = 180^{o} - (35^{o} + 45^{o})\]

 

    \[\angle O = 180^{o} - 80^{o}\]

 

    \[\angle A = 100^{o}\]

Ответ: \angle O = 100^{o}

ru.solverbook.com

Что такое вершины и стороны угла

Что такое вершины и стороны угла

Словом «угол» в русском языке, даже не считая немалого числа жаргонизмов, обозначают массу самых разнообразных понятий. Однако когда применительно к углу одновременно употребляют определения «вершина» и «сторона», то речь может идти только об угле в том смысле, который в него вкладывают в геометрии и смежных научных разделах. В математике, физике и других связанных с ними разделах естествознания существует понятие «точка» - им обозначают какое-то место в пространстве, не имеющее собственных размеров. Это такой объект, который и в двухмерной, и в трехмерной, и в любой другой системе координат сохраняет свойства пришельца из нулевого измерения. С точкой связано другое понятие - «луч». Если представить бесконечную прямую линию, проведенную через точку, то этот нуль-объект будет делить ее на две части («полупрямые»), каждая из которых и будет являться лучом с началом в этой точке. Геометрическая фигура, которую образуют эти два луча с началом в общей точке, называется «углом». Если рассматривать эту фигуру именно как угол, то для лучей и точки следует использовать общепринятые названия - лучи надо называть «сторонами» угла, а их общую точку - его «вершиной».Если надо дать определение сторон угла, то можно определить их как лучи, исходящие из общей точки и образующие этот угол. А вершину угла в свою очередь можно определить, как общую начальную точку образующих угол лучей.В рассмотренном примере угол можно назвать «развернутым», то есть величина его равна 180°, но, разумеется, стороны угла (лучи) могут расходиться из вершины под разными углами. В геометрии «классический» угол, часто называют «плоским», имея в виду, что часть плоскости между сторонами угла тоже является его неотъемлемой частью. Однако чаще рассматриваются частные случаи углов и понятиям сторон и вершин углов придают смысл, несколько отличающийся от их точного определения. Например, применительно к плоским многоугольникам сторонами угла часто называют не лучи, а отрезки прямой, соединяющие соседние вершины и являющиеся сторонами фигуры. А у объемных геометрических фигур вершины углов образуются тремя или большим числом лучей (ребер).

completerepair.ru

Прямой, тупой, острый и развернутый угол

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является геометрической фигурой. Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

угол 90 градусов

Его градусная мера всегда составляет 90о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

тупой угол

Градусная мера тупого угла всегда больше 90о, но меньше 180о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

острый угол

Градусная мера острого угла всегда меньше 90о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

развернутый угол

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить смежные углы, проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

нулевой угол

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0о, 90о, 180о, 270о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0о до 180о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181о до 359о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

дополнительные углы

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90о.

2. Смежные

смежные углы

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180о.

3. Вертикальные

вертикальные углы

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

центральный угол

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

вписанный угол

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.

fb.ru

какая фигура называется углом? Объясните , что такое вершина и сторона угла?

Угол это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Вершина угла это общее начало лучей, а стороны это лучи.

Угол-это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало-вершиной угла.

Уголом называеться геометрическая фигура, состоящая из двух точек с общим началом. Эти лучи называются сторонами угла, а их общее начало вершиной угла))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Стороной угла называется луч или отрезок, образующий угол

т р е у о л н и к

серега лузин дэбил

Угол-это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало-вершиной угла.

Угол-это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало-вершиной угла.

место куда тебя отправляют стоять, когда ты наказан!!!!:)

Угол-это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало-вершиной угла.

это просто капут

Угол-это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки

угол фигура образованная 2 лучами. исходящия из одной точки

touch.otvet.mail.ru

Углы | Математика

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Угол

Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

угол ABC = углу B.

Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

∠ABC = ∠B

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Углы с одной вершиной

Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD < уг. ABD.

Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.

Сравнение углов

a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными

уг. ABC = уг. DEF.

b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF

уг. ABC > уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

уг. ABC < уг. DEF.

Сложение, вычитание, умножение и деление углов. Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Из равенства (а) вытекает равенство:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.

Углы можно складывать и вычитать.

Равные прилежащие углы

Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.

Угол AOD равен трем углам AOB

AOD = 3AOB.

Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число.

Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.

Смежные углы

Смежные углы. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами.

Прямые смежные углы

В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.

На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.

Прямые углы

Прямой угол есть один из равных смежных углов.

Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.

На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.

Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.

Подошва перпендикуляра. Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.

Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.

В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.

Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр (черт. 18).

Наклонная линия. Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Наклонная и перпендикулярная линии

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

уг. DCA > уг. ACE,

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Пары прямых углов

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случаевсякий острый угол < d,всякий тупой угол > d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Смежные углы

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

ACD = ACE + ECD = d + ECDDCB = ECB - ECD = d - ECD

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

ACD + DCB = 2d.

Сумма прилежащих углов равна двум прямым

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

ACD + DCE = 2d

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

DCB = DCE

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Углы, расположенные по одну сторону

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

ACF + FCB = 2d.

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Углы, расположенные вокруг одной точки

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

EOA + AOG = 2d.

Точно также

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Пары вертикальных углов

Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)BCD + DCE = 2d

следовательно,

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

ACB = DCE.

Подобным же образом доказывают, что

∠BCD = ∠ACE.

Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Биссектриса

Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Так как ECB + BCF = ECF, то

ECF = d

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

maths-public.ru

Вершина угла - это... Что такое Вершина угла?

  • вершина угла — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN corner point …   Справочник технического переводчика

  • вершина угла — матем. Точка пересечения двух прямых, образующих угол …   Словарь многих выражений

  • вершина (угла, карьеры) — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN apexap …   Справочник технического переводчика

  • ВЕРШИНА — ВЕРШИНА, вершины, жен. (книжн.). 1. Самая высокая часть чего нибудь. Вершина горы. 2. перен. Высшая степень достижения. Вершина творчества. ❖ Вершина угла (геом.) точка пересечения двух прямых линий, образующих угол. Толковый словарь Ушакова. Д.Н …   Толковый словарь Ушакова

  • ВЕРШИНА — ВЕРШИНА, ы, жен. Самый верх, верхняя часть (горы, дерева и т. п.). В. Казбека. В. сосны. На вершине славы (перен.). • Вершина угла в геометрии: точка пересечения двух лучей (в 3 знач.), образующих угол. | прил. вершинный, ая, ое. Толковый словарь …   Толковый словарь Ожегова

  • вершина — ы; ж. см. тж. вершинный 1) Верхняя, самая высокая часть чего л. (обычно дерева или холма) Верши/на сосны. На вершине холма. * Горные вершины Спят во тьме ночной (Лермонтов) 2) чего книжн. Высшая степень, ступень чего л …   Словарь многих выражений

  • ВЕРШИНА — (1) В. конуса точка пересечения образующих конуса; (2) В. многогранника точка, в кото рой сходятся соседние рёбра многогранника; (3) В. многоугольника точка, в которой сходятся две соседние стороны многоугольника; (4) В. параболы точка… …   Большая политехническая энциклопедия

  • вершина — сущ., ж., употр. часто Морфология: (нет) чего? вершины, чему? вершине, (вижу) что? вершину, чем? вершиной, о чём? о вершине; мн. что? вершины, (нет) чего? вершин, чему? вершинам, (вижу) что? вершины, чем? вершинами, о чём? о вершинах 1. Вершиной… …   Толковый словарь Дмитриева

  • вершина — ы; ж. 1. Верхняя, самая высокая часть чего л. (обычно дерева или холма). В. сосны. На вершине холма. * Горные вершины Спят во тьме ночной (Лермонтов). 2. чего. Книжн. Высшая степень, ступень чего л. В. творческой деятельности. На вершине славы.… …   Энциклопедический словарь

  • вершина треугольника — матем. Точка пересечения сторон угла, противоположного основанию …   Словарь многих выражений

  • dic.academic.ru

    УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

    УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ. Фигура на плоскости, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки O, называется углом. Лучи OA и OB называются сторонами угла, а точка O вершиной. Угол со сторонами OA и OB обозначается РAOB.

    Углы сравнивают, складывают, измеряют. Они равны, если их можно совместить перемещением. Два угла называются смежными (рис. 1), если у них общие вершина и одна сторона, а две другие образуют прямую. Вообще, углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, называются прилежащими (рис. 2). Углы называются вертикальными (рис. 3), если стороны одного являются продолжениями за вершину сторон другого. Вертикальные углы равны между собой. Угол, у которого стороны образуют прямую, называется развернутым (рис. 4). Угол, равный своему смежному, называется прямым. Угол меньший прямого – острый, больший прямого, но меньший развернутого – тупой.

    При пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой образуются углы (рис. 5). 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 называются соответственными; 2 и 5, 3 и 8 – внутренними односторонними; 1 и 6, 4 и 7 – внешними односторонними; 3 и 5, 2 и 8 – внутренними накрест лежащими; 1 и 7, 4 и 6 – внешними накрест лежащими.

    Если луч OC проходит внутри угла AOB (рис. 6), то, по определению, считают, что угол AOC, как и угол COB, меньше угла AOB и что угол AOB равен сумме углов AOC и COB. Взяв за единицу измерения какой-либо конкретный угол, определяют величину любого угла, т.е. находят, сколько раз укладывается в нем данный единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств, аналогичных свойствам длины отрезка: 1) величины равных углов равны, 2) величина суммы двух углов равна сумме их величин.

    Если рассмотреть углы, вершиной которых является центр окружности, а сторонами – радиусы, то можно отметить, что равные углы высекают на окружности равные дуги, и сумме углов будет соответствовать сумма стягиваемых ими дуг. Поэтому величина угла пропорциональна длине высекаемой им дуги, и единицы измерения можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.

    Обычно пользуются двумя системами измерения углов: градусной и радианной.

    В градусной системе за единицу измерения принимают дугу размером в 1/360 окружности (обозначают °). Градус делится на 60 минут (обозначают '), минута на 60 секунд (обозначают ''). Шестидесятиричность измерений напоминает о Вавилоне, но был в истории еще один градус. Во времена Великой французской революции (1793) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 минут, минута на 100 секунд. Эта система наиболее часто применяется в геодезических измерениях.

    Математики предпочитают пользоваться радианной мерой – за единицу измерения принимается угол, под которым видна из центра окружности ее дуга, равная радиусу. Величина такого угла и есть радиан. Она не зависит от радиуса окружности и от положения дуги на окружности. Т.к. полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна 241 радиусам, то радиан в 241 раз меньше, чем угол 180°, т.е. один радиан равен 180°/241:

    1 радиан » 57,2958° » 57°17'45''

    И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет никакой роли.

    Радианная мера, выражающаяся отношением длины дуги, описанной произвольным радиусом из центра и заключенной между сторонами угла, к радиусу этой дуги, не зависит от выбора единицы длины. Так же не зависит и градусная мера, т.к. она тоже является отношением двух длин, а именно длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между ее сторонами, к длине дуги равной 1/360 части окружности того же радиуса.

    Таким образом, никакой принципиальной разницы между градусной и радианной мерой угла нет, однако введение радианной меры позволяет придать многим формулам более простой вид.

    Соотношение градусной и радианной мер наиболее часто встречающихся углов приведено в следующей таблице

    Соотношение градусной и радианной мер углов
    Углы в градусах 360° 180° 90° 60° 45° 30°
    Углы в радианах π π/2 π/3 π/4 π/6

    Прямой угол содержит в себе 90° или 241/2 радиан. Острый лежит в пределах от 0 до 90° или от 0 до 241/2 радиан, тупой – от 90 до 180° или от 241/2 до 241. Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна другой.

    Часто важно указать, в каком направлении измеряется угол. Если рассматривать в качестве меры угла поворот вокруг вершины О, переводящий луч OA в положение OB, то положительной мера угла считается, если поворот происходит против часовой стрелки, в противном случае угол считается отрицательным. Таким образом, угол может иметь своей величиной любое действительное число. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

    Под углом между двумя кривыми, выходящими из общей точки, в которой каждая из кривых имеет определенную касательную, понимают угол, образованный этими касательными. Понятие угла обобщается и на различные объекты в пространстве (двугранные, телесные и многогранные углы.

    www.krugosvet.ru