Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами. Линии пересечения


8.5 Построение линии пересечения двух поверхностей

Для решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей общего положения в качестве вспомогательной поверхности (посредник), следует выбирать такие, которые пересекали бы заданные по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям.

В качестве вспомогательных поверхностей (посредников) наиболее часто используются секущие плоскости и сферические поверхности.

Прежде чем решить вопрос, какие вспомогательные поверхности следует выбрать необходимо, выяснить, не занимает ли одна из пересекающихся поверхностей проецирующее положение, т.к. в данном случае решение поставленной задачи значительно упрощается. Это происходит из-за того, что одна из проекций линии пересечения будет совпадать с главной проекцией проецирующей поверхности. Поэтому решение сводится к определению недостающей проекции линии, принадлежащей заданным поверхностям из условия принадлежности.

Пример решение задач:

Задача. Построить линию пересечения пирамиды и призмы (рисунок 69)

1. Заданы многогранники. Все ребра призмы пересекают грани пирамиды. Имеем случай проницания. Призма занимает профильно-проецирующее положение.

2. Так как призма перпендикулярна П3, то профильная проекция линии пересечения заданных многогранников совпадает с профильной проекцией призмы.

3. Линия пересечения распалась на две замкнутые ломаные линии: пространственную 1-6-8-9-4-3-1 и плоскую 2-5-10-7-2. Фронтальная и горизонтальная проекция линии пересечения построена из условия принадлежности пирамиды.

4. Отрезки прямых соединены с учетом видимости. Видимыми считаются те участки ломаной, которые являются линией пересечения двух видимых граней многогранника и наоборот.

Рисунок 69 – Пересечение пирамиды и призмы

Задача. Построить проекции линии пересечения конуса и треугольной призмы (рисунок 70).

  1. Линия состоит из совокупности дуги окружности, части гиперболы и части эллипса.

2. Так как призма фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией призмы.

3. Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения построены из условия принадлежности конусу.

Рисунок 70 – Пересечение конуса и призмы

Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра (рисунок 71)

1. Заданы кривые поверхности. Случай врезки. Цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение

2. Линия пересечения – пространственная замкнутая кривая

3. Так как цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение, то фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей совпадает с фронтальной проекцией цилиндра, а горизонтальная проекция строится по принадлежности конусу.

Рисунок 71 – Пересечение конуса и цилиндра

4. Опорные точки: А, С, С– экстремальные. А – высшая точка, С, С- низшие,D,D– очерковые (точки смены видимости на П1). Точки 1, 1и 2, 2– очерковые относительно П3. Точки 3, 3– точки касания образующих конуса и цилиндра. Остальные точки – промежуточные.

5. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим горизонтальную проекцию линии перемещения заданных поверхностей.

studfiles.net

13 Построение линии пересечения поверхностей

Предложенные в настоящей работе задания охватывают задачи не на все методы построения линий пересечения поверхностей, а только наиболее распространенные.

Ниже приведены решения типовых задач, когда применены раз­личные способы в зависимости от формы и расположения пересе­кающихся поверхностей.

13.1 Одна из поверхностей занимает частное (проецирующее) положение

13.1.1 Задание: даны две поверхности: - тора и Р - цилиндра(рисунок 13.1). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: поверхность цилиндра перпендикулярна к П2, следова­тельно, она проецирующая. В таком случае фронтальная проекция линии пересечения уже известна. Она совпадает с фронтальной про­екцией цилиндра. Решение задачи, т.е. построение горизонтальной проекции линии пересечения, сводится к нахождению второй проек­ции линии, принадлежащей поверхности . Для достижения этой целина фронтальной проекции фиксируют опорные (1, 2, 4, 9) и промежу­точные точки и находят их положения на горизонтальной проекции (рисунок 13.2).

Ниже приводится построение горизонтальной проекции только одной точки 1 (рисунок 13.1). Из этой точки вниз проводят линию проек­ционной связи. Одновременно из этой же точки радиусом 012 прово­дят дугу окружности, на которой лежит эта точка, как принадлежащая тору, и находят проекцию этой окружности на горизонтальной проек­ции тора - это прямая линия, параллельная оси x. Она проходит через точку l1 (точка пересечения окружности, проходящей через точку 1, с окружностью тора, лежащей на П1). Горизонтальная проекция точки 1 находится на пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки 12, с горизонтальной проекцией окружности тора, на которой лежит точка 1. Остальные точки строят аналогично точке 1 (рисунок 13.2).

Точки 4 и 9 определяют видимость линии пересечения на гори­зонтальной проекции, а точки 1 и 2 наиболее удаленные от контура на горизонтальной проекции.

Рисунок 13.1 Рисунок 13.2

Эту задачу можно решать и методом вспомогательных секущих плоскостей, который рассматривается в следующем пункте.

13.2 Метод вспомогательных секущих плоскостей

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересе­чении с данными поверхностями образуют простые линии (прямую или окружность).

13.2.1 Задание: даны поверхности конуса и цилиндраф (рисунок 13.3). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П2, следо­вательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (пункт 13.1.1) примере. Для этого определяют опорные - наивысшую и низшую точки 1 и 2, которые лежат на пересечении фронтальной про­екции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 11 и 21 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l1 и 21, совпадают с осевой линией конуса). Точ­ки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции. Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П1 проводят вспомогательную секущую плос­кость Г (ее фронтальный след Г2). Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиусом R, которая на П1 будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции опорных точек 31 к 41 (рисунок 13.3).

Построение промежуточных точек аналогично построению то­чек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рисунок 13.4).

Рисунок 13.3 Рисунок 13.4

13.3 Метод вспомогательных концентрических сфер

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, когда их оси пересекаются и параллельны плоскости проекции. Точка пересечения осей принимается за центр вспомогательных концентрических секущих сфер.

13.3.1 Задание: Даны две поверхности вращения - конус и ци­линдр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, па­раллельной П2 (рисунок 13.5). Требуется построить линию их пересече­ния.

Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересече­ния меридианов заданных поверхностей вращения 12 и 22 - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра - 1, и 2,. Другие точки линии пересечения можно построить, используя кон­центрические сферические посредники, как вспомогательные секущие поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции кону­са, а последующие - большим радиусом (рисунок 13.6).

Рисунок 13.5 Рисунок 13.6

Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фрон­тальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.

Горизонтальные проекции этих точек определяются по принад­лежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их полу­чать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят последова­тельный ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рисунок 13.6). Чтобы определить видимость го­ризонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной про­екции отмечают точки, лежащие на осевой линии цилиндра и принад­лежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных точек, будут находиться на не­видимой части цилиндра.

13.4 Метод эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. При этом пе­ресекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сече­ний.

13.4.1 Задание: даны две поверхности вращения - тор и конус, оси которых находятся в одной плоскости, параллельной П1 (рисунок 13.7). Требуется построить линии их пересечения.

Решение: прежде всего, фиксируют опорные точки пересечения очерковых меридианов 1 и 2. Затем через ось вращения поверхности кольца проводят фронтальный след 2 фронтально проецирующей плоскости . Линия пересечения её с поверхностью тора - окруж­ность. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восстановленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости. Чтобы конус пересекался вспомо­гательной секущей сферой по окружности, её центр должен находить­ся на оси конуса. Точка пересечения перпендикуляра к проецирующей плоскости с осью конуса (O2) выбирается центром вспомогатель­ной секущей сферы. Радиус ее равен расстоянию от центра до точки пересечения меридиана тора со следом плоскости 1.2- Такая вспомога­тельная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по ок­ружностям, фронтальные проекции которых - отрезки прямых. Точка пресечения этих отрезков 32 (рисунок 13.7) принадлежит искомой линии пересечения поверхностей.

Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения; так, при построении проекции - точки 42 - О'2. Горизон­тальные проекции точек пересечения строят по принадлежности этих точек к одной из поверхностей, используя параллели, например, кону­са.

Рисунок 13.7

studfiles.net

6. Построение линии пересечения поверхности плоскостью частного положения

Линия пересечения поверхности проецирующей плоскостью представляет собой плоскую замкнутую линию. Одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией секущей плоскости в пределах очерка пересекаемой поверхности. Вторая проекция линии пересечения строится по точкам по условию принадлежности этих точек заданной поверхности. В первую очередь определяют опорные точки на ребрах многогранников, экстремальные и очерковые.

6.1. Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Линия пересечения многогранника проецирующей плоскостью является плоской замкнутой ломанной линией, вершины которой – точки пересечения ребер, а стороны – линии пересечения граней многогранника с плоскостью (рис. 8).

Задача. Построить линию пересечения пирамиды горизонтально проецирующей плоскостью.

Горизонтальные проекции опорных точек 1, 2, 3, 4 находим в местах пересечения ребер пирамиды плоскостью Г. Фронтальные проекции этих точек определяем с помощью линий связи на соответствующих ребрах пирамиды.

Участок 22 – 32 ломанной на П2 не виден, так как он принадлежит невидимой грани ASB.

Рис. 8

23. Построить линии пересечения данных геометрических фигур проецирующими плоскостями. Обозначить проекции опорных точек. Определить видимость проекций линии пересечения и очерков геометрических фигур.

а)

б)

6.2. Пересечение поверхности вращения проецирующей плоскостью

Линия пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью представляет собой плоскую замкнутую кривую. Для построения этой кривой определяем точку пересечения ряда образующих поверхности с секущей плоскостью. К опорным точкам линии относятся: экстремальные (высшая, низшая, ближняя, дальняя, левая, правая), и очерковые. Очерковые точки одновременно являются точками смены видимости.

Задача. Построить линии пересечения цилиндра фронтально проецирующей плоскостью.

Секущая плоскость не перпендикулярна оси вращения цилиндра. Линия пересечения – эллипс (рис. 8). На плоскости П2 эллипс проецируется в отрезок А2В2; на плоскость П1 – в окружность, совпадающую с проекцией цилиндрической поверхности; на плоскость П3– в эллипс.

Профильные проекции точек, принадлежащих эллипсу, строим по двум известным (горизонтальной и фронтальной). В первую очередь определяем проекции высшей А и низшей В точек, очерковых относительно П3 (С и D), затем – промежуточных, например, 1 и 2. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим эллипс, являющийся профильной проекцией фигуры сечения. Точки С и D являются точками смены видимости на П3.

Задача. Построить линию пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью (рис. 10).

Рис. 10

Сферу плоскость пересекает по окружности. В зависимости от положения секущей плоскости относительно плоскостей проекций окружность может проецироваться в прямую, окружность или эллипс. Окружность сечения проецируется на плоскость П2 в отрезок А2В2, на плоскость П1– в эллипс, который строится по точкам. Точки А и В являются экстремальными относительно П1: В – высшая точка, А – низшая. Фронтальные их проекции совпадают с точками пересечения фронтальной проекции плоскости ∑с очерком фронтальной проекции сферы. Их горизонтальные проекции находим по линиям связи на горизонтальной проекции главного меридиана. Фронтальные проекции точек М и N (точек смены видимости относительно П1) находим на пересечении ∑2с фронтальной проекцией экватора сферы. Их горизонтальные проекции находим по линиям связи на очерке горизонтальной проекции сферы. Экстремальные относительно П2 точки С и D (самая ближняя и самая дальняя) определяются при помощи общей плоскости симметрии Л, которая проводится через центр сферы перпендикулярно плоскости ∑. Для нахождения промежуточных точек, 1 и 2 используем параллель n, проходящую через эти точки. Радиус параллели Rn, как и любой другой, измеряем от оси до очерка. На П1 параллель проецируется в окружность.

Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим эллипс, являющийся горизонтальной проекцией фигуры сечения.

24. Построить линии пересечения данных геометрических фигур проецирующими плоскостями. Обозначить проекции опорных точек. Определить видимость проекций линии пересечения и очерков геометрических фигур.

1)

2)

Задача. Построить линии пересечения конуса проецирующими плоскостями.

Плоскость ∑ пересекает все образующие конуса. Линия сечения – эллипс. Плоскость Г перпендикулярна оси конуса. Линия сечения – окружность.

Плоскость Δ параллельна одной образующей конуса m(S-1). Линия пересечения парабола.

Плоскость Г проходит через вершину конуса S. Линия сечения – две прямые m(S-1) и n(S-2). Плоскость Г' параллельна двум образующим m и n. Линия сечения - гепербола.

25. Построить линии пересечения конуса проецирующими плоскостями. Обозначить проекции опорных точек. Определить видимость проекций линии пересечения и очерков геометрических фигур.

1)

2)

studfiles.net

13 Линии пересечения и перехода

На чертежах деталей машин линии пересечения и линии перехода различных поверхностей встречаются очень часто. Иногда эти линии являются сложными лекальными кривыми, для построения проекций которых необходимо найти большое количество точек.

На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией. В местах сопряжения поверхностей литых и штампованных деталей нет четкой линии пересечения. Воображаемая линия пересечения называется линией перехода и условно изображается на чертежах сплошной тонкой линией. Эта линия начинается и заканчивается в точках пересечения продолжения контура взаимно пересекающихся поверхностей.

Построение линий пересечения и перехода требует иногда значительной точности, например, при выполнении чертежей трубопроводов, вентиляционных устройств, резервуаров, кожухов машин, станков и другого оборудования.

Общие правила построения линий пересечения поверхностей тел были рассмотрены при изучении раздела «Начертательная геометрия» методами вспомогательных секущих поверхностей – посредников.

Порядок определения точек, принадлежащих линии пересечения:

  1. Определение очевидных точек

  2. Пересечение пересекающихся поверхностей либо плоскостью (метод вспомогательных секущих плоскостей), либо сферой (метод вспомогательных секущих сфер)

  3. Определение линий пересечения вспомогательной поверхности с каждым из пересекающихся тел

  4. Определение точек пересечения линий, найденных в пункте 3

  5. Повторение пунктов 2,3,4 несколько раз

  6. Соединяем полученные точки и определяем видимость.

Вопросы для самоконтроля.

1.Чем отличается линия перехода от линии пересечения?

2. Какая толщина линии в местах сопряжения литых и штампованных деталей?

3. какие методы начертательной геометрии применяют при определении точек, принадлежащих линии пересечения поверхности?

14 Классификация резьб, обозначение резьбы на чертеже

В машиностроении применяются стандартные цилиндрические и конические резьбы разных типов, отличающихся друг от друга назначением и параметрами.

Основным элементом резьбы является её профиль (рисунок 14.1).

Рисунок 14.1

а – метрическая резьба; б – трубная резьба; в – трапецеидальная; г – упорная

Обозначение резьбы включает в себя буквенное обозначение типа резьбы и параметры резьбы. При обозначении резьбы указывается её наружный диаметр (больший по размеру).

М12 – 6 Н

резьба метрическая, наружный Ø 12 мм, шаг крупный, правая, поле допуска 6 Н - внутренняя резьба (6 g - наружная )

М12 х 0,75 – 6Н

то же, но шаг мелкий о,75 мм

М12 х 0,75LH-6Н

то же, но левая

М 42х 3(Р1)LH -6Н

то же, но трёхзаходная ( шаг Р=1,ход Рh =3, число заходов n= Рh/Р = 3: 1 = 3

G1 – А (или В)

трубная цилиндрическая, нарезанная на трубе с Ø отверстия 1// (1 дюйм), класс точности А. 1// =25,4 мм

G 11/2 LH – В

нарезанная на трубе с Ø отверстия G11/2 // , класс точности В

К 3/4 // ГОСТ 6111-52

коническая, диаметр резьбы в дюймах, № стандарта

R 3/4

трубная коническая наружная, Ø резьбы в дюймах

RС3/4LH

внутренняя, левая

Тr 80 х 6 - 7g

трапецеидальная, Ø наружный 80, шаг 6.Шаг указывается обязательно

S 60 х 9 – 7h

Упорная, Ø 60, шаг 9. Шаг указывается обязательно

СП

Специальная резьба, отличающаяся от стандартной диаметром или шагом. Пишется СП перед обозначением профиля резьбы (СП М 60 х 2,5)

Для всех резьб, кроме конической и трубной цилиндрической, обозначения наносят к наружному (большему) диаметру и проставляют над размерной линией, на ее продолжении или на полке (рисунок 2).

studfiles.net

Лекция 9 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Лекция 9 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Вопросы:

1.Взаимное пересечение кривых поверхностей

2.Особые случаи пересечения поверхностей

3.

Пересечение

кривой

поверхности

с

поверхностью

 

многогранника

 

 

 

 

4.Пересечение многогранников

1 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.1 Общие положения

Кривые поверхности пересекаются в общем случае по пространственной кривой линии, проекции которой строятся обычно по точкам. Для нахождения этих точек заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных, затем находят общие точки построенных линий пересечения. Повторяя такие построения многократно, получают необходимое количество точек для определения линии пересечения.

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1) Выбирают вид вспомогательных поверхностей.При выборе вспомогательной секущей поверхности следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее п ростым для построения линиям - прямым или окружностям. В качестве вспомогательных поверхностей - посредников наиболее часто используют плоскости и сферы.

2) Строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями.

3)Находят точки пересечения полученных линий и соединяют их между собой.

4)Определяют видимость линии пересечения относительно рассматриваемых поверхностей и плоскостей проекций.

Построения начинают с определения характерных (опорных) точек (точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости), высшая и низшая точки линии пересечения, крайние точки (правая и левая).

При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и утоняет построения.

1.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рис. 186).

В первую очередь определяем характерные точки линии пересечения:

- Проекции высшей и низшей точек А2 и E2 определены при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Q,которая пересекает поверхность цилиндра и конуса по крайним образующим. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальном следе Qπ2 вспомогательной плоскости.

- Точки С и С найдены при помощи горизонтальной плоскостиS, проведенной через ось цилиндра. ПлоскостьS пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (передней и задней), а поверхность конуса — по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точкиС 1 иС1 — горизонтальные проекции точекС иС . Фронтальные проекции этих точек лежат на фронтальном следе плоскостиS .

Промежуточные точки линии пересечения найдены при помощи горизонтальных плоскостейР иR.

Рисунок 186

Рисунок 187

В рассмотренном примере точки линии пересечения найдены при помощи вспомогательных плоскостей частного положения. Иногда же введение плоскостей частного положения не дает желаемого эффекта и целесообразнее воспользоваться плоскостями общего положения.

1.3 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер с постоянным центром

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через

центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии.

На рис. 187 показана фронтальная проекция пересечения сферы радиуса R и поверхностей вращения - конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы

радиуса R и параллельны плоскостиπ2. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ секущих сфер с постоянным центром применяют при следующих условиях:

1)обе поверхности являются поверхностями вращения;

2)обе поверхности вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

3)плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В том случае, если это условие не соблюдается, прибегают к способам преобразования чертежа.

Сфера радиуса (Rmin)

Рисунок 188

Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рис. 188).

Оси заданных поверхностей вращения пересекаются (точка О) и параллельны плоскости проекцийπ2, следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются.

Определяем фронтальные проекции опорных точки 12 и22 как точки пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Горизонтальные проекции этих точек определяем при помощи линий проекционной связи.

Далее из центра пересечения цилиндра и конуса проводим ряд концентрических окружностей, являющихся фронтальными проекциями вспомогательных сфер.

Радиус сферы максимального радиуса (Rmax)

равен расстоянию от фронтальной проекции центра сфер O2 до наиболее удаленной точки проекции точки пересечения очерков (точка12).

минимального

- это сфера, которая может быть вписана в одно геометрическое тело и пересекающая другое.

Сфера минимального радиуса только касается поверхности конуса и, следовательно, пересекает ее но окружности, фронтальная проекция которой — прямая A2B2. Поверхность цилиндра

сфера Rmin пересекает также по окружности, фронтальная проекция которой — прямаяC2D2. Пересечение этих прямых — точка42 есть фронтальная проекция одной из точек искомой линии пересечения.

Аналогичным образом при помощи сферы промежуточного радиуса Ri построена фронтальная проекция32 еще одной точки, принадлежащей линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса.

2 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1 Соосные поверхности вращения

Соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, так линиями пересечения конуса и цилиндра (рис. 189) являются две окружности, которые проецируются на горизонтальную плоскость в натуральную величину, а на плоскость π2 - в отрезки прямых.

Рисунок 189

2 Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

Как отмечалось ранее, линия пересечения двух кривых поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. Однако в некоторых частных случаях эта линия может распадаться на плоские кривые.

Теорема Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго

порядка (рис. 190).

Использование этой теоремы

упрощает построение проекции линии пересечения

таких поверхностей на плоскость, параллельную их

осям – на эту плоскость они проецируются

прямыми

линиями.

Например,

два

цилиндра

(рис.190),

оси которых пересекаются в

точке О,

описанные вокруг одной сферы, пересекаются по

 

двум эллипсам, фронтальными проекциями

 

которых являются отрезки прямых.

Рисунок 187

Рисунок 188

3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА

Каждая грань многогранника в общем случае пере секает кривую поверхность по плоской кривой. Эти кривые пересекаются между собой в точках встречи ребер многогранника с поверхностью. Таким образом, задача на построение линии пересечения кривой поверхности с многогранником сводится к нахождению линии пересечения поверхности плоскостью и точек встречи прямой с поверхностью.

Пример. Построение линии пересечения поверхностей полусферы

и призмы (рис.188).

 

Линию пересечения поверхностей полусферы

и призмы

выполняем методом вспомогательных секущих плоскостей.

Каждая грань призмы пересекает поверхность полусферы по полуокружностям, которые пересекаются между собой в точках встречи ребер призмы с поверхностью полусферы.

В приведенном примере одна из граней призмы расположена параллельно фронтальной плоскости проекций, поэтому окружность, по которой эта грань пересекает поверхность полусферы, спроецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения. Фронтальные проекции остальных двух дуг полуокружностей, очевидно, будут представлять собой дуги полуэллипсов. Построение их на эпюре следует начинать с нахождения опорных точек. Для этого через каждое ребро призмы проведены фронтальные плоскости (P иQ), которые пересекают поверхность полусферы но окружностям.

Точки пересечения фронтальных проекций ребер с соответствующими

полуокружностями являются фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с полусферой (точек 1 , 2 , 3 ) .

Точки 4 и5, разделяющие кривые на видимую и невидимую части, получены при помощи фронтальной плоскостиS, проведенной через центр полусферы.

Промежуточные точки найдены аналогичным построением (при помощи фронтальных плоскостей R иТ).

4 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Линия пересечения поверхностей двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию (или две замкнутые ломаные линий), которая проходит через точки пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Построение линии пересечения многогранников можно производить двумя способами, комбинируя или выбирая из них тот, который в зависимости от условий дает более простые построения:

1способ. Определяют точки, в которых ребра одного из многогранников пересекают грани другого и ребра второго пересекают грани первого. Через полученные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения заданных поверхностей. При этом можно со единять прямыми проекции только тех точек, которые лежат на одной и той же грани.

2 способ. Определяют отрезки прямых, по которым грани одного из многогранников пересекают грани другого; эти отрезки являются звеньями получаемой при пересечении многогранников ломаной линии.

 

Пример. Построение линии пересечения поверхно стей призмы и

пирамиды (рис.189)

 

 

 

 

Как видно из рис.189,

 

с

поверхностью

пирамиды

 

пересекается только

одно

 

переднее ребро призмы. Так

 

как

это

 

ребро

 

перпендикулярно плоскости

 

π1,

то

горизонтальные

 

проекции

точек

входа

и

 

выхода (точки 1 и2)

 

отмечаются

непосредствен-

 

но на эпюре.

 

 

 

 

 

Для

нахождения

их

 

фронтальных

проекций

 

через вершину пирамиды и

 

переднее

ребро

призмы

 

проведена

вспомогательная

 

горизонтально

прое-

 

цирующая

плоскость

Q.

 

Она пересекла поверхность

Рисунок 189

пирамиды по прямым

SD и

 

SE,в пересечении фронтальных проекций которых с фронтальной проекцией переднего ребра призмы отмечены фронтальные проекции12, 22 точек входа и выхода1 и2.Так как грани призмы — горизонтально

- проектирующие плоскости, то построение точек встречи ребер пи - рамиды с гранями призмы (точек 3, 4, 5, 6) никаких затруднений не представляет и понятно из чертежа. Соединив последовательно между собой фронтальные проекции найденных точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения. Горизонтальная проекция ее совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

При определении видимости точек,принадлежащих линии пересечения, руководствуются следующим правилом: проекция точки, полученная при пересечении двух видимых линий, видима. Точка пересечения двух невидимых или одной видимой и другой невидимой линии невидима.

studfiles.net

Построение линий пересечения поверхностей.

Линия пересечения поверхностей состоит из точек, принадлежащих каждой из них. Общий способ построения линии пересечения заключается в последовательном нахождении точек, ей принадлежащих, при помощи вспомогательных секущих поверхностей - посредников. В качестве посредника выбирается плоскость или сфера. Выбор того или иного посредника зависит как от типа пересекаемых поверхностей, так и от их взаимного расположения.

Различают два вида пересечения поверхностей:

1) полное, когда все образующие или ребра одной поверхности соответственно пересекаются с другой поверхностью;2)частичное, когда часть образующих или ребер боковых поверхностей не участвуют в пересечении.

В результате полного пересечения получаются две замкнутые линии, а частичного – одна.

Построение линии пересечения начинают с нахождения её опорных точек. Промежуточные точки ищут в тех местах, где опорные точки расположены далеко друг от друга.

Линия пересечения двух поверхностей может быть:

1)пространственная ломаная линия – при пересечении двух многогранников;

2)пространственная кривая – при пересечении двух кривых поверхностей или кривой поверхности и многогранника.

 

Виды. Разрезы. Сечения.

Изображения предметов должны выполняться по методу прямоугольного проецирования. При этом предмет располагают между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций. За основные плоскости проекций принимают 6 граней куба. Главное изображение выбирают так, чтобы оно давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета. Количество изображений на чертеже должно быть минимальным, но обеспечивающим полное представление о предмете.

  Вид снизу  
Вид справа Главный вид (вид спереди) Вид слева Вид сзади
  Вид сверху  

Вид – изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Виды: основной, дополнительный, местный и развернутый. Основной вид – вид, который наиболее полно показывает форму поверхности предмета. Дополнительный вид – изображение предмета или его частей без искажения формы и размеров. Местный вид – изображение отдельного, ограниченного места поверхности предмета. Развернутый вид – изображение поверхностей некоторых предметов сложной формы. Названия видов не надписывают, если они расположены в установленной проекционной связи. Если проекционная связь нарушена, то направление проецирования должно быть указано стрелкой и прописной буквой.

Разрез – изображение предмета, мысленно рассеченного одной (или несколькими) секущими плоскостями. В зависимости от положения секущей плоскости относительно плоскости проекций разрезы называют горизонтальными, вертикальными и наклонными. Горизонтальный разрез имеет секущую плоскость, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Вертикальный разрез имеет секущую плоскость, горизонтальной плоскости проекций. Наклонный разрез имеет секущую плоскость, не параллельную и не горизонтальной плоскости проекций. Когда секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета в целом, то положение секущей плоскости не обозначают и разрез надписью не сопровождают. Разрез обозначается, если секущая плоскость не является плоскостью симметрии предмета (А – А).

Сечение - изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями (черт. 6). На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.



infopedia.su

Построение линии пересечения плоскостей

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L1 и L2, принадлежащих линии пересечения.

Построение линии пересечения по точкам

Решение

  1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ1. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1''C'' и 2''3'', совпадают с фронтальным следом пл. γ1. Он обозначен на рисунке как f0γ1 и расположен параллельно оси x.
  2. Определяем горизонтальные проекции 1'C' и 2'3' по линиям связи.
  3. Находим горизонтальную проекцию точки L1 на пересечении прямых 1'C' и 2'3'. Фронтальная проекция точки L1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
  4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ2. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L2.
  5. Через L1 и L2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П1 и П2.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Алгоритм построения

  1. Находим точку L'1, расположенную на пересечении горизонтальных следов h0α и h0β. Точка L''1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L'1.
  2. Находим точку L''2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L'2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L''2.
  3. Проводим прямые l' и l'' через соответствующие проекции точек L1 и L2, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Дополнительные материалы:

ngeometry.ru