ПОСТРОЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ. Как начертить эвольвенту окружности


Эвольвента окружности

Эвольвентой окружности называется плоская кривая — след движения любой точки А окружности при ее развертывании в одну сторону и одновременном выпрямлении (фиг.161).

след движения любой точки А окружности при ее развертывании в одну сторону и одновременном выпрямлении

Шаг эвольвенты А0A4 равен длине окружности, т. е. ΠD. Линия CL, проходящая через любую точку К эвольвенты касательно к развертываемой окружности, называется нормалью эвольвенты. Прямая MN, проведенная через точку К перпендикулярно нормали, будет касательной эвольвенты. 1. Образование эвольвенты окружности. На (фиг.162) показано приспособление, при помощи которого можно легко уяснить образование эвольвенты окружности.

показано приспособление, при помощи которого можно легко уяснить образование эвольвенты окружности

Вокруг неподвижного диска диаметром D навернута на один оборот тесьма, конец которой закреплен на боковой кромке диска, а на другом конце сделана петля. Если, натягивая тесьму вставленным в петлю карандашом, разматывать ее, то карандаш вычертит кривую - эвольвенту окружности, шаг которой равен nD окружности диска. В любом положении при таком развертывании тесьмы она будет каса-тельна к окружности диска.

Построение эвольвенты окружности.

Данную развертываемую окружность диаметром D (фиг.163,а) делят на произвольное число равных частей (для получения достаточно плавной кривой рекомендуется делить окружность не менее чем на 12 частей). Из каждой точки деления проводят касательную, направленную в одну и ту же сторону, например в противоположную движению часовой стрелки (или наоборот). На первой касательной откладывают от точки касания 1/12 часть nD, на второй — 2/12; на третьей 3/12 и т. д., следовательно на двенадцатой касательной надо отложить 12/12 nD, т. е. nD. Проведя кривую по найденным на касательных конечным точкам, получают эвольвенту окружности (фиг.163,б). На (фиг.164) показан пример применения эвольвенты окружности. Очертания боковых сторон профилей зубьев зубчатых колес обычно выполняют по эвольвенте.

Смотри также: Парабола.....



 

www.viktoriastar.ru

Урок №30. Построение эвольвенты зубчатого колеса (упрощенный способ)

Эвольвентное зацепление зубчатых колесУрок посвящен построению зубчатого колеса с эвольвентным профилем зуба. Урок состоит из двух частей. В первой части выложена теория, формулы для расчета и один из способов графического построения эвольвентного профиля зуба.Во второй части (видео) показан способ построения модели зубчатого колеса с использованием графических построений в первой части урока.

 Часто задаваемые вопросы:

*Что такое эвольвента (эволюта)?*Как построить эвольвенту?*Как построить зубчатое колесо в программе SolidWorks?*Формулы для расчета зубчатого колеса?*Как нарисовать эвольвентный профиль зуба зубчатого колеса? 

Итак, начнем с теории....

Эвольвентное зацепление позволяет передавать движение с постоянным передаточным отношением. Эвольвентное зацепление - зубчатое зацепление, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности.Для этого необходимо чтобы зубья зубчатых колёс были очерчены по кривой, у которой общая нормаль, проведённая через точку касания профилей зубьев, всегда проходит через одну и туже точку на линии, соединяющей центры зубчатых колёс, называемую полюсом зацепления.

Эвольвента – геометрическое место точек прямой, катящейся без скольжения по окружности, называемой эволютой.

 

Рис. 1. Эвольвента круга 

 Параметры зубчатых колёс

Основной теореме зацепления удовлетворяют различные кривые, в том числе эвольвента и окружность, по которым чаще всего изготавливают профили зубьев зубчатого колеса.

В случае, если профиль зуба выполнен по эвольвенте, передача называется эвольвентной.

Для передачи больших усилий с помощью зубчатых механизмов используют зацепление Новикова, в котором профиль зуба выполнен по окружности.

Окружности, которые катятся в зацеплении без скольжения друг по другу, называются начальными (D).

Окружности, огибающие головки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями головок (d1).

Окружности, огибающие ножки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями ножек (d2).

Окружности, по которым катятся прямые, образующие эвольвенты зубьев первого и второго колёс, называются основными окружностями.

Окружность, которая делит зуб на головку и ножку, называется делительной окружностью (D).

Для нулевых (некорригированных) колёс начальная и делительная окружности совпадают.

Расстояние между одноимёнными точками двух соседних профилей зубьев зубчатого колеса называется шагом по соответствующей окружности.

Шаг можно определить по любой из пяти окружностей. Чаще всего используют делительный шаг p =2 r/z, где z – число зубьев зубчатого колеса. Чтобы уйти от иррациональности в расчётах параметров зубчатых колёс, в рассмотрение вводят модуль, измеряемый в миллиметрах, равный

Модуль зубчатого колеса, геометрический параметр зубчатых колёс. Для прямозубых цилиндрических зубчатых колёс модуль m равен отношению диаметра делительной окружности (D) к числу зубьев z или отношению шага p к числу "пи" .

Модуль зубчатого колеса стандартизованы, что является основой для стандартизации других параметров зубчатых колёс.

Основные формулы для расчета эвольвентного зацепления:

Исходными данными для расчета как эвольвенты, так и зубчатого колеса являются следующие параметры: m - Модуль - часть диаметра делительной окружности приходящаяся на один зуб. Модуль - стандартная величина и определяется по справочникам. z - количество зубьев колеса. ? ("альфа") - угол профиля исходного контура. Угол является величиной стандартной и равной 20°.

Делительный диаметр рассчитывается по формуле:

 D=mz 

Диаметр вершин зубьев рассчитывается по формуле:

d1=D+2m 

Диаметр впадин зубьев рассчитывается по формуле:

d2=D-2*(c+m)

где с - радиальный зазор пары исходных контуров. Он определяется по формуле:

с = 0,25m 

Диаметр основной окружности, развертка которой и будет составлять эвольвенту, определяется по формуле:

d3 = cos ? * D 

От автора. Я нашел в интернете полезную программку в  Excel 2007. Это автоматизированная табличка для расчета всех параметров прямозубого зубчатого колеса.

Скачать   Скачать с зеркала

Итак, приступим к графическому построению профиля зубчатого колеса. 

 

 

  1. Изобразите делительный диаметр с диаметром D, и центром шестерни O. Окружность показана красным цветом. 
  2. Изобразите диаметр вершин зубьев (d1) с центром в точке O с радиусом большим на высоту головки зуба(зелёного цвета).
  3. Изобразите диаметр впадин зубьев (d2) с центром в точке O с радиусом меньшим на высоту ножки зуба (голубого цвета цвета).

  1. Проведите касательную к делительному диаметру (желтая).
  2. В точке касания под углом ? проведите линию зацепления, оранжевого цвета. 
  3. Изобразите окружность касательную к линии зацепления, и центром в точке O. Эта окружность является основной  и показана тёмно синего цвета.

 

  1.  Отметьте точку A на диаметре вершин зубьев.
  2. На прямой соединяющие точки A и O отметьте точку B находящуюся на основной окружности.
  3. Разделите расстояние AB на 3 части и отметьте, точкой C, полученное значение от точки A в сторону точки B на отрезке AB.

  1. От точки C проведите касательную к основной окружности.
  2. В точке касания отметьте точку D.
  3. Разделите расстояние DC на четыре части и отметьте, точкой E, полученное значение от точки D в сторону точки C на отрезке DC.

 

  1. Изобразите дугу окружности с центром в точке E, что проходит через точку C. Это будет часть одной стороны зуба, показана оранжевым.
  2. Изобразите дугу окружности с центром в точке H, радиусом, равным толщине зуба (s). Место пересечения с делительным диаметром отметьте точкой F. Эта точка находится на другой стороне зуба. 

  1. Изобразите ось симметрии проходящую через центр О и середину расстояния FH.
  2. Линия профиля зуба отображенная зеркально относительно этой оси и будет второй стороной зуба. 

Вот и готов профиль зуба прямозубого зубчатого колеса. В этом примере использовались следующие параметры:

  1. Модуль m=5 мм
  2. Число зубьев z=20 
  3. Угол профиля исходного контура ?=200 

Расчетные данные:

  1. Делительный диаметр D=100 мм 
  2. Диаметр вершин зубьев d1=110 мм
  3. Диаметр впадин зубьев d2=87.5 мм
  4. Толщина зубьев по делительной окружности S=7.853975 мм

На этом первая часть урока является завершенной. Во второй части (видео) мы рассмотрим как применить полученный профиль зуба для построения модели зубчатого колеса. Для полного ознакомления с данной темой ("зубчатые колеса и зубчатые зацепления", а также "динамические сопряжения в SolidWorks") необходимо вместе с изучением этого урока изучать урок №24.

Еще скажу пару слов о специальной программе, производящей расчет зубчатых колес и генерацию модели зубчатого колеса для SolidWorks. Это программа Camnetics GearTrax.

P.S.(16.03.2010) Скачать  Camnetics GearTrax 

А теперь переходим с следующей части урока.

Скачать 2-ю часть урока №30   Скачать с зеркала

/strong

Похожие статьи:

www.swlesson-mpl.ru

ПОСТРОЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

3

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л. В. Бойкова

ПОСТРОЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Методические указания по курсу «Теория механизмов и машин»

Ульяновск 2004

УДК 621.01 (076) ББК 34.41 я7

4

Б77

Рецензент: д-ртехн. наук, профессор А. А. Романцев

Бойкова Л. В.

Б77 Построение эвольвентного зацепления: Методические указания по курсу «Теория механизмов и машин». – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 20 с.

Методические указания к лабораторной работе «Построение эвольвентного зацепления» по курсу «Теория механизмов и машин» рассматривают общие положения теории проектирования эвольвентных зубьев, дана методика построения эвольвентных зубьев, условия геометрического синтеза эвольвентных зубчатых передач. Предназначены для студентов дневной и вечерней форм обучения, обучающихся по направлению 652100 «Авиастроение».

Работа подготовлена на кафедре «Самолетостроение».

УДК 621.01 (076) ББК 34.41 я7

Учебное издание

БОЙКОВА Лариса Владимировна

ПОСТРОЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Методические указания Редактор Н. А. Евдокимова

Подписано в печать 23 . 01.2004. Формат 60 84/16 .

Бумага писчая. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд.л. 1,00 . Тираж 100 экз. Заказ

Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул.Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.

Л. В. Бойкова, 2004 Оформление. УлГТУ, 2004

5

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания служат для проведения лабораторной работы по курсу «Теория механизмов и машин», в которых рассматриваются методика построения эвольвентных зубьев методом огибания.

По методу огибания зубья колёс нарезаются гребёнками на зубострогальных станках, червячными фрезами на зубофрезерных станках и долбяками на зубодолбежных станках. Метод огибания базируется на основных положениях теории звольвентного зацепления и заключается в том, что режущему инструменту сообщают такое же относительное движение, которое имелось бы при зацеплении колеса с рейкой. Кроме того, инструменту сообщается возвратно-поступательноедвижение резания. Одним из преимуществ метода огибания по сравнению с методом копирования является то, что одним и тем же инструментом можно нарезать различные профили.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1. Основные понятия и определения

Зубчатыми зацеплениями, или зубчатыми механизмами (зубчатыми передачами, редукторами), называются механизмы, которые используются чаще всего для преобразования вращательных движений между валами. При этом скорость входного вала в зубчатом механизме может преобразовываться как по величине, так и по направлению.

Вслучае, если в передаче участвуют два вала, передача называется односту-

пенчатой.

Вслучае, если валов n, то передачамногоступенчатая, причём число ступеней равно(n-1).

Валы в зубчатом механизме могут в пространстве располагаться различным образом и тогда: 1) если валы параллельны друг другу, передача называется плоской и осуществляется с помощью прямозубых или косозубых цилиндрических колёс; 2) если валы пересекаются, передача называетсяконической и осуществляется с помощью конических зубчатых колёс; 3) если валы скрещиваются в пространстве, в этом случае используютсячервячные,гипоидные и другие передачи.

1.2.Основная теорема зацепления

При передаче движения между валами колёса делают с профилированными зубьями, которые, во-первых,должны обеспечивать постоянный контакт сопряжённых поверхностей. Кроме этого, кривые, по которым выполняются профили зубьев зубчатых колёс, должны удовлетворять условию их точного изготовления с помощью существующих режущих инструментов. Такими кривыми могут являться линии, удовлетворяющие основной теореме зацепления, которая представляет собой аналитическое выражение, связывающее кинематические параметры зубчатой передачи с геометрическими параметрами кривых, осуществляющими эту передачу.

6

Теорема формулируется следующим образом: общая нормаль, проведённая в точке контакта сопряжённых профилей, делит межосевое расстояние (линию центровки) на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Пусть передача вращения между двумя осями О1 иО2 с угловыми скоростямиw1 иw2 осуществляется посредством двух взаимоогибаемых кривых (рис.1). Проведём в точке соприкосновенияА кривых нормальnn и касательнуюtt к этим кривым. Строим план скоростей, соответствующий уравнению (1).

υ

А

А +υ

А А

(1)

2

1

2

1

 

υА

= w1 .ОА.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Основная теорема зацепления

Из сравнения плана положений и плана скоростей выделим подобные треугольники O1BA иpа0а1,O2СА иpа0а2, из которых:

pa0

=

O1 B

,

pa0

=

O2C

.

pa

O A

pa

 

 

 

 

2

 

O

A

1

 

1

 

 

2

 

 

Из пропорций определим величину pа0, приравняв эти выражения:

pa

 

= pa

O1 B

= pa

 

O2 C

.

 

O A

 

 

0

1

 

2 O

A

 

 

 

1

 

2

 

 

Умножая обе части на масштабный коэффициент mu, получим:

υА

О1 В

=υА

О2С

.

О А

 

1

2

О

А

 

1

 

2

 

 

7

По формуле Эйлера:

υА = w1О1 В= w2 О2 С,

w1

=

О2

С

=U

12

.

(2)

w

2

О В

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Введём в рассмотрение точку P - точку пересечения межосевого расстоянияО1О2 с нормалью в точке контактаnn.

Тогда треугольники О1ВP иО2СP подобны. Для них справедливо соотноше-

ние:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О1B

=

О1 P

.

 

 

 

(3)

 

О C

О

P

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

С учётом пропорции (3)

выражение (2) запишется следующим образом:

U12=

w1

=

 

О2С

=

О2 P

.

 

 

 

О1 В

 

 

 

 

 

w2

 

 

 

О1 P

 

Последнее соотношение выражает основную теорему зацепления.

1.3. Эвольвента и её свойства

Пусть задана окружность с центром в точке О (рис.2).

Рис. 2. Эвольвента круга

Проведём касательную в точке М к этой окружности и будем катить эту прямую без скольжения по окружности. Для построения эвольвенты круга делим окружность на равные дуги:ˇ0-1,ˇ1-2,ˇ2-3,ˇ3-4,… . На прямой откладываем от точкиМ участки, такие, чтобы выполнялись следующие условия:ˇ0-1=1-1',

ˇ0-2=2-2',ˇ0-3=3-3',ˇ0-4=4-4'… Соединяя между собой точки 1', 2', 3', 4', …

плавной кривой, получим эвольвенту круга.

8

Эвольвента – геометрическое место точек прямой, катящейся без скольжения по окружности, называемойэволютой.

Эвольвента круга обладает свойством: tgα –α = invα ,

где α – угол между начальным положением т.М и произвольной точкой эволюты.

1.4. Параметры зубчатых колёс

Основной теореме зацепления удовлетворяют различные кривые, в том числе эвольвента и окружность, по которым чаще всего изготавливают профили зубьев зубчатого колеса.

В случае, если профиль зуба выполнен по эвольвенте, передача называется

эвольвентной.

Для передачи больших усилий с помощью зубчатых механизмов используют зацепление Новикова, в котором профиль зуба выполнен по окружности.

Окружности, которые катятся в зацеплении без скольжения друг по другу, называются начальными (rw).

Окружности, огибающие головки зубьев зубчатых колёс, называются окруж-

ностями головок (rа).

Окружности, огибающие ножки зубьев зубчатых колёс, называются окруж-

ностями ножек (rf).

Окружности, по которым катятся прямые, образующие эвольвенты зубьев первого и второго колёс, называются основными окружностями (rb).

Окружность, которая делит зуб на головку и ножку, называется делительной окружностью.

Для нулевых (некорригированных) колёс начальная и делительная окружности совпадают.

Расстояние между одноимёнными точками двух соседних профилей зубьев зубчатого колеса называется шагом по соответствующей окружности.

Шаг можно определить по любой из пяти окружностей. Чаще всего используют делительный шаг p =2 рr/z, гдеz – число зубьев зубчатого колеса. Чтобы уй-

ти от иррациональности в расчётах параметров зубчатых колёс, в рассмотрение вводят модуль, измеряемый в миллиметрах, равный m = πp .

По модулю зубчатые колёса гостированы. Значения модулей приведены в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

Модули m, мм

 

 

 

0,05

0,1

0,15

0,3

 

0,5

1,5

2

2,5

4

5

6

 

8

12,0

16

20

25

30

40

 

50

80

100

 

 

 

 

 

 

 

 

При изготовлении зубчатых колёс принимают ha= m, hf = 1,25m, h = 2,25m.

9

1.5. Методы изготовления колёс с эвольвентным профилем

При проектировании зубчатых колёс с эвольвентным профилем одновременно с геометрическими и динамическими (или прочностными) условиями учитывается также технологический процесс изготовления зубчатых колёс.

Эвольвентные профили зубчатых колёс нарезают методом копирования и методом обкатки, а для более мелких модулей применяют метод горячей накатки (формообразования). Последний метод по сравнению с методом нарезания менее точен. При методе копирования фреза в поперечном сечении очерчена по профилю впадины между зубьями (рис. 3).

Рис. 3. Обработка профилей с помощью одиночной фрезы методом копирования

Фреза, вращаясь, перемещается вдоль боковой поверхности образующей зуба. Таким образом, фреза за один ход прорезает одну впадину между двумя соседними зубьями. Затем она возвращается в исходное положение, и заготовка поворачивается на угол p =2 р/z. Эта величина называетсяугловым шагом зубчато-

го колеса. Данный метод изготовления профилей является сравнительно малопроизводительным.

При более прогрессивном методе обкатки режущему инструменту и заготовке сообщают такое относительное движение, какое имели бы зубчатые колёса в зацеплении. Следовательно, геометрия и кинематика процесса изготовления зубчатого профиля по методу обкатки, или огибания, аналогична процессу зацепления двух поверхностей – производящей и нарезаемой. Подобное зацепление на-

зывается станочным.

Существует несколько способов производства эвольвентных профилей методом обкатки. При зубодолблении инструмент выполняется в виде зубчатого колеса И (рис. 4).

Рис. 4. Обкатка профиля зубодолблением

10

Долбяк И совершает поступательное движение вдоль оси нарезаемого колесаК. Одновременно долбяку и нарезаемому колесу (заготовке) сообщается вращательное движение. Их угловые перемещения связаны соотношением:

∆ϕk/∆ϕu = zu/zk = Uku,

где zu иzk – числа зубьев долбяка и нарезаемого колеса соответственно. Профиль зуба образовывается как огибающая последовательных положений профиля долбяка, построенных относительно заготовки. Огибающая эвольвент является эвольвентой. Следовательно, долбяк с эвольвентным зубом нарезает эвольвентный профиль зуба колеса. За один проход долбяк снимает стружку небольшой толщины, поэтому нарезание зубьев совершается за несколько оборотов заготовки. С каждым оборотом заготовки механизм подачи осуществляет радиальное перемещение долбяка к оси заготовки.

Суппорт с долбяком совершают возвратно-поступательное(реверсивное) движение вдоль оси заготовки. Ход, во время которого совершается процесс резания, называетсярабочим, обратный ход –холостым.

Более производительным при нарезании колёс с внешним зубчатым венцом считается зубофрезерование с помощью червячных фрез И (рис. 5).

Рис. 5. Обкатка профиля зубостроганием инструментальной рейкой

Кинематика нарезания профиля зуба с помощью инструментальной рейки имеет такую последовательность. Суппорт с рейкой также участвует в реверсивном движении. При прямом ходе совершается процесс строжки; обратный ход холостой. За время холостого хода заготовка получает перемещение ∆Z вдоль гре-

бёнки и поворот ∆ϕ вокруг своей оси. Эти движения связаны соотношением:

∆Z=r∆ϕ,

где r – радиус делительной окружности (рис. 6).

Рис. 6. Обкатка профиля зубофрезерованием

11

Таким образом, осуществляется движение нарезаемого колеса относительно рейки, аналогичное процессу зацепления. Гребенка постепенно врезается в заготовку. Исходный контур инструментальной рейки показан на рис. 7 (глубина захода hd = 2m, радиус закругленияρu ≈ 3.8m и угол профиляαt = 20° ).

Рис.7. Образование эвольвентной части зуба и галтели при нарезании инструментальной рейкой

У зубчатых колёс с эвольвентным профилем зуба, нарезаемых методом обкатки, различают станочное и проектируемое (или монтажное) зацепление.

При станочном зацеплении начальная окружность нарезаемого зубчатого колеса одновременно является делительной. Параметром станочного зацепления в дальнейшем будем присваивать индекс «и».

Проектируемое зацепление появляется при сборке или монтаже и взаимодействии двух парных зубчатых колёс в механизме.

1.6. Проектирование прямозубого эвольвентного зацепления

Порядок проектирования зубчатого нормального эвольвентного зацепления следующий: проведём начальные окружности радиусов rw1 иrw2, рассчитанные в зависимости от числа зубьевz1 иz2 и величины модуля, определяемого по условиям прочности зуба (рис. 8).

12

Рис.8. Построение профилей зубчатого эвольвентного зацепления

Затем в точке касания начальных окружностей через полюс зацепления Р проводим образующую прямуюnn под углом зацепленияα=αw к общей касательной, проведённой к этим окружностям.

Основные окружности радиусов rb1 иrb2 должны касаться образующей прямой. При обкатывании её по основной окружности колеса1 точка прямой, совпадающая с полюсомP, опишет эвольвентуPЭ°1. При качении той же прямой по основной окружности колеса2 та же точка опишет эвольвентуРЭ°2.

При построении эвольвентного профиля зуба следует режущую грань исходного прямолинейного контура рейки ии представить жёстко связанной с средней

studfiles.net

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ, ПОСТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА

Геометрическое место центров кривизны какой-либо кривой называют инволютой, а саму кривую – эвольвентой (рис. 5.5). При профилировании зубьев в качестве эволюты используется окружность, называемая в дальнейшем основной, а сам зуб очерчивается эвольвентой окружности. Единственным параметром, отличающим одну эвольвенту от другой, является радиус основной окружности.

Можно указать следующий способ образования эвольвенты. Выбирается основная окружность rb, касающаяся ее производящая прямая и чертящая точка на ней. Перекатывая производящую прямую по окружности без скольжения, получаем траекторию чертящей точки, которая является эвольвентой, т.к. мгновенные радиусы кривизны ее лежат на основной окружности. Эвольвенту можно получить, наматывая нить с чертящей точкой на диск (рис. 5.5). Две чертящие точки дадут две эквидистантные (равноотстоящие) эвольвенты.

Приближенное графическое построение эвольвенты как кривой, составленной из множества дуг окружностей, представлено на рис.5.5 б.

Из определения эвольвенты и из указанных выше способов ее построения вытекают следующие очевидные свойства:

1. Нормаль эвольвенты касается основной окружности.

2. Радиус кривизны эвольвенты равен длине нормали.

3. Длина нормали эвольвенты равна длине соответствующей дуги основной окружности

4. Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно длине соответствующей дуги основной окружности

УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Наиболее удобная форма записи уравнения эвольвенты – в полярных координатах в параметрической форме. В качестве параметра принимается угол профиля эвольвенты. Углом профиля эвольвенты αy называется угол между направлением радиус–вектора к текущей точке Y и направлением касательной Т – Т. Он изменяется в пределах 0 - 90˚, практически используется участок эвольвенты, где αy = 0 - 30˚.

Полярные координаты ry и θy укажут положение точки Y. Установим зависимость ryиθy от параметра αy.

Проведем из точки Y нормаль N –N, которая по 1-му свойству эвольвенты коснется основной окружности в точке В. Заметим, что угол BOY равен углу профиля эвольвенты в данной точке. Из треугольника OBY следует

ry = rb / cos αy

Введем угол νy, тогда νy = αy + θy, откуда следует θy = νy - αy.

Из построений на рис. 5.6 и в силу 3-го свойства эвольвенты длина дуги ВА0 равна BY. Из треугольника BYO следует BY/rb = tg αy. На основании приведенных зависимостей нетрудно установить, что центральный угол νy = tg αy. Функция θy = tg αy - αy получила название эвольвентной функции или инволюты. Иногда используется условное обозначение θy = - inv αy.

ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

На рис. 5.7 представлено зацепление эвольвентных профилей. Общая нормаль N – N. Проведенная через точку касания двух профилей, обязана согласно 1-му свойству эвольвенты, коснуться основных окружностей. Поскольку таких окружностей две, положение нормали единственно и неизменно. Тем самым подтверждается выполнение следствия основного закона зацепления. В процессе зацепления точка касания профилей не может сойти с общей нормали N – N, т.к. в противном случае нарушилось бы 1-ое свойство. Установлено, что при эвольвентном зацеплении профилей точка касания движется по общей нормали с постоянной скоростью.

Введем две окружности, проходящие через полюс зацепления. Такие окружности называются начальными. Они перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами зубчатых колес.

Эвольвентное зацепление получило широкое распространение благодаря ряду достоинств:

1. Эвольвентное зацепление нечувствительно к небольшому изменению межосевого расстояния, что удешевляет изготовление корпусных деталей.

2. Для нарезания эвольвентных зубчатых колес можно применять простой инструмент с прямолинейной режущей кромкой.

3. При изготовлении колес путем простого смещения инструмента можно добиваться новых положительных свойств.

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

Существуют два способа изготовления зубчатых колес: способ копирования и способ обкатки. Способом копирования дисковой или пальцевой фрезой на обычном фрезерном станке вырезается впадина между зубьями (рис.5.7) Поскольку в зависимости от числа зубьев размеры впадины при одном и том же модуле изменяются, нужно иметь очень много фрез. На практике одной фрезой нарезаются колеса в некотором диапазоне чисел зубьев, указанном на фрезе, что не очень точно. Неточность может быть исправлена последующей шлифовкой.

Способ копирования недостаточно производителен, т.к. в работе находится один зуб, много времени тратится на перестановку заготовки. Поэтому способ применяется в единичном и мелкосерийном производстве, при нарезании неответственных, тихоходных колес.

При способе обкатки инструмент и заготовка совершают относительное движение обкатывания, инструмент своими режущими кромками постепенно внедряется в заготовку, прокладывая себе путь. Таким образом, возникает станочное зацепление, аналогичное обычному зацеплению с той разницей, что одно из звеньев является инструментом. Инструмент выполняется в виде гребенки, червячной фрезы или долбяка. Этот способ требует применения специальных зубофрезерных станков. В одних конструкциях станков инструмент обкатывается вокруг неподвижной заготовки, в других – инструмент движется поступательно, заготовка поворачивается, в третьих – заготовка и инструмент (долбяк) вращаются (рис.5.8).

Способ обкатки получил наибольшее распространение. Он производителен, т.к. обрабатывается несколько зубьев сразу, процесс зубонарезания идет непрерывно. Профиль зуба формируется с учетом числа зубьев колеса, поэтому нарезание точное. По такому же принципу производится чистовая обработка, шлифование зубьев.

ИСХОДНЫЙ КОНТУР

Из описания способов изготовления зубчатых колес ясно, что размеры зуба полностью зависят от профиля инструмента. По ГОСТ профиль инструмента стандартизован путем задания так называемого «исходного контура». На рис.5.9 представлен теоретический исходный контур. Он выполнен в виде рейки с трапециевидными зубьями.

Размеры рейки выражаются через один основной параметр, называемый модулем. Модуль m имеет размерность мм и выбирается из ряда рациональных чисел от 0.05 до 100.

Шаг рейки p - расстояние между одноименными точками двух соседних зубьев. Шаг складывается из толщины зуба s и ширины впадины e. Та единственная прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины, называется делительной прямой рейки., остальные прямые называются начальными. Шаг зубьев рейки p = π m s = e = π m / 2.

Делительная прямая делит зуб на головку и ножку. Высота головки – ha = 1.25 m, высота ножки – hf = m, высота всего зуба – h = 2.25 m. Головка закруглена радиусом ρ = 0.38 m.

Инструмент изготавливается по производящему исходному контуру, отличающемуся от теоретического исходного контура тем, что впадина сделана глубже на 0.25 m и закруглена так же как головка. Это сделано для того, чтобы впадина инструмента не касалась заготовки. Следовательно, впадина не участвует в нарезании зуба. Зуб нарезают прямолинейные боковые кромки и скругленная вершина зуба. Рейку можно рассматривать как зубчатое колесо бесконечно большого радиуса. В этом случае эвольвента превращается в прямую линию.



infopedia.su

Эвольвента окружности - это... Что такое Эвольвента окружности?

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности:

где — радиус окружности; — угол поворота радиуса окружности.

Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру

Имеется окружность с диаметром , и с центром в точке . Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка , должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка , должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг.

Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле , где  — диаметр окружности;  — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты соединяем их плавной линией.

В данном случае окружность с диаметром является эволютой к этой эвольвенте.

Эвольвента окружности

См. также

Литература

1. Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 438-480. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7

dic.academic.ru

1.2. Вычерчивание элементов зубчатого зацепления

 Заказать расчет эвольвентного зацепления

Подсчитав все размеры элементов зацепления, приступаем к вычерчиванию зубчатого зацепления.

Параметр зацепления

р

d1

d2

dв1

dв2

S1

S2

 aw

dw1

dw2

da1

da2

df1

df2

Размер  в масштабе, мм

93,0

296,3

770,4

278,4

723,9

59,5

49,1

550,4

305,8

795,0

382,5

828,1

257,8

703,4

Пример расчета параметров зубчатого зацепления здесь.

Профили зубьев вычерчиваем в такой последовательности:

1. На чертеже под произвольным углом откладываем линию центров О1О2. Длина линии центров равна межосевому расстоянию О1О2=aw.2. Из концов отрезка (линии центров) откладываем начальные окружности dw1 и dw2. Начальные окружности dw1 и dw2 касаются друг друга в полюсе P. 3. Откладываем и строим основные окружности dв1 и dв2.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 1.

 

4. Построение эвольвенты колеса 2.

4.1. Из полюса P к основной окружности проводим касательную РА.Отрезок АР (см. рис.) делим на четыре равные части (АВ = ВС = СD = DP) и из точки В проводим дугу радиуса r = ВР до пересечения в точке Р1 с основной окружностью; тогда  ДугаАР1 = АР.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 2.

4.2. После этого, отрезок  АР снова делим на произвольное число равных частей длиной 15…20мм (число делений целесообразно взять четным, например 8). Дугу АР1 также делим на такое число равных частей (ДугаР11'= Дуга1' 2' = Дуга2' 3' = …).

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 3.

 

 

4.3. Точки 1'; 2'; 3'… соединяем с центром О2.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 4.

 

4.4. Через точки 1'; 2'; 3'… проводим перпендикуляры к соответствующим радиусам О21'; О22'; О23'…. На перпендикулярах (они касаются основной окружности) откладываем отрезки 1'1''; 2'2''; 3'3''…, соответственно равные отрезкам Р1; Р2; Р3….

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 5.

 

4.5. Соединяя точки Р1; 1''; 2''; 3''… плавной кривой, получаем часть эвольвенты второго колеса.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 6.

 

4.6. Для продолжения построения профиля зуба второго колеса откладываем и строим окружности выступов и впадин зубьев второго колеса. Следует отметить, что радиус окружности впадин может быть больше, равен и меньше радиуса rв основной окружности. Это зависит от числа Z зубьев колеса и от коэффициента смещения х. В нашем случае dв2 > df2

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 7.

 

4.6. Для завершения построения эвольвенты второго колеса вводим дополнительные точки 8 и 9. Точки 8 и 9 откладываем против часовой стрелки от точки А. Пользуясь описанным выше методом, находим точки 8''и 9''. Завершаем построение эвольвенты второго колеса.

 Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 8.

 

4.7. Профиль ножки у основания зуба можно построить упрощенно. Если rf <  rв, то от основания эвольвенты до окружности впадин проводят радиальный отрезок, а затем у основания зуба делают закругление радиуса 0,2m. Упрощенное построение профиля ножки зуба не отражают истинного его очертания, а является только чертежным приемом.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 9.

 

5. Строим делительную окружность колеса 2 и получаем точку D ее пересечения с эвольвентой.

От точки D откладываем на делительной окружности колеса 2 (пользуясь построением, показанным выше) дуги: влево ДугаDE, вправо ДугаDF, равные каждая длине шага р. От точки E, D, F влево откладываем (пользуясь тем же построением) дуги ER, DM, FH, равным каждая толщине S зуба по делительной окружности.

Делим дуги DM, FH, ER пополам в точках T, Y, Q. Соединяем эти точки с центром О2, получаем оси симметрии зубьев. После этого вырезаем из твердой бумаги шаблон половины зуба, которым пользуемся для построения остальных зубьев. Обязательным является построение трех зубьев – первого, профиль которого построен по точкам, и двух, находящихся справа и слева от первого.

Построение эвольвентного зубчатого зацепления. Этап 10.

 

Аналогично строим три зуба для другого колеса.

Эвольвентное зубчатое зацепление.

 

6. При вычерчивании профилей зубьев нужно помнить следующее: наличие зазора на активной части линии зацепления между профилями, пересекаемыми линий зацепления, свидетельствуют о неправильном выполнении чертежа.

Примеры ошибок:

Пример ошибки при построении эвольвентного зубчатого зацепления.

 

 

 

Заказать расчет эвольвентного зацепления 

  • < Назад
  • Вперёд >
Добавить комментарий

student-com.ru

Эвольвента окружности — WiKi

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности [1]:

x=rcos⁡ϕ+rϕsin⁡ϕ;{\displaystyle x=r\cos \phi +r\phi \sin \phi \,\!;}y=rsin⁡ϕ−rϕcos⁡ϕ,{\displaystyle y=r\sin \phi -r\phi \cos \phi \,\!,}

где r{\displaystyle r} — радиус окружности; ϕ{\displaystyle \phi } — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).

Натуральное уравнение эвольвенты окружности, т.е. зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: k(s)=12rs.{\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.}

Имеется окружность диаметра d{\displaystyle d}  с центром в точке O{\displaystyle O} . Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка B2{\displaystyle B^{2}}  должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка B3{\displaystyle B^{3}}  должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле a=πdm,{\displaystyle a={\frac {\pi d}{m}},}  где d{\displaystyle d}  — диаметр окружности, m{\displaystyle m}  — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией.

В данном случае окружность диаметра d{\displaystyle d}  является эволютой к этой эвольвенте.

  Эвольвента окружности

ru-wiki.org